פרק 9 - דגימה ומשפטי גבול

עוסקת בקשר בין מדגם לבין האוכלוסייה
כאשר יש מדגם מקרי ומייצג, נוכל לחקור אותו בפשטות מהירות ועלות נמוכה
ממנו נקיש על כלל האוכלוסייה על פי כללים מוגדים
פרמטר - כל מדד שלקוח מהאוכלוסייה
סטטיסטי - אומד, מדד שלקוח מתוך מדגם מקרי
מקבל ערכים שונים בכל מדגם סטטיסטי.
תכונה מס' 1 - תוחלת
תנאי: מדגם מקרי
תכונה מס' 2 - שונות
תנאי: מדגם מקרי
תכונה מס' 3 - סטיית תקן
תנאי:
  • מדגם מקרי
  • עם החזרה
תכונה מס' 4 - משפט הגבול המרכזי - התפלגות נורמלית של ממוצע המדגם
התפלגות נורמלית
ציון תקן של תצפית בודדת
ציון תקן של ממוצע מדגם
תכונה מס' 5 - התפלגות נורמלית של ממוצע המדגם
ממוצע תוצאות סביבות באוכלוסיה, עבור אינספור סיבובים
שונות הסביבון
ממוצע מדגם בגודל n=2 של סיבובי סביבון
תוחלת כל ממוצעי המדגם כאשר n=2
שונות ממוצעי המדגמים
הצגה גרפית
הציונים במבחן בגרות באנגלית מתפלגים נורמלית באוכלוסיה עם ממוצע ציוני 72 ושונות ציונים 100.
נלקח מדגם של 64 תצפיות מאוכלוסיה זו.
נסדר את הנתונים בטבלה:
תוחלת ושונות ממוצע הציונים במדגם
הסיכוי שתצפית שנדגמה מקרית מהאוכלוסיה תהיה בעלת ציון עובר מעל 60
הסיכוי שממוצע הציונים של מדגם של 10 תלמידים יהיה עובר
הסיכוי שבמדגם של n תצפיות, ממוצע המדגם יהיה גדול מ72

הסיכוי שממוצע הציונים של מדגם עם 64 תצפיות יהיה בטווח הסימטרי 70-74
ציון ממוצע המדגם שגודלו 49 תצפיות ש-60% ממוצעי המדגמים נמוכים ממנו

כמות התלמידים שיש לדגום אם מעוניינים שממוצעי המדגמים לא יסטו ממוצע האוכלוסיה ביותר מ-2 בהסתברות
אם n>30 או נתונה התפלגות נורמלית באוכלוסיה, אז גם מתקיים:
טבלת הנתונים:
ההסתברות שממוצע המדגם יעלה על 60 ולא יהיה גדול מ-67
ההסתברות שממוצע המדגם יהיה רחוק מתוחלתו בפחות מ-2
חזרה על סעיף ב' עם מדגם בגודל 49 תצפיות, מה המסקנה לאור ההבדל בין התוצאות?
מה יהיה גודל המדגם המינימלי שיבטיח את ההסתברות:
נתון כד עם 100 כדורים.
50 מהם מסומנים בספרה 1, 30 בספרה 2, 15 בספרה 3 והיתר ב-4
נחשב נתונים:
מוציאים באופן מקרי ועם החזרה 35 כדורים מהכד. מהי בקירוב ההסתברות שממוצע הספרות הרשומות על הגדורים הוצאו יהיה קטן מ-/.6 או גדול מ-2?
כמה גדורים יש להוציא מהכד כדי שבהסתברות של 0.95 לפחות יסטה ממוצע הספרות הרשומות מתוחלתו בלכל היותר 0.1?


הנח שתוצאות זריקת קוביה היא כזאת, שהסכוי לקבלת תוצאה מסוימת הינו יחסית למספר.
כלומר, הסיכוי לקבל 2 הוא כפול מהסיכוי לקבל 1, הסיכוי לקבל 3 הוא פי 3 מהסיכוי לקבל 1 וכו'.
בנה את פונקצית ההסתברות של התוצאות הקוביה
מה ההסתברות שממוצע מס' הנקודות, שהתקבלו ב-145 הטלות, יהיה לכל היותר 4 ?
הקוביה נזרקה 216 פעם. מה הסיכוי שסכום המספרים שהתקבלו גדול מ-886? ( השתמש בהתפלגות סכום לפתרון )
מה ההסתברות שממוצע מס' הנקודות, שהתקבלו ב-145 הטלות, יהיה לכל היותר 4 ?
הקוביה נזרקה 216 פעם. מה הסיכוי שסכום המספרים שהתקבלו גדול מ-886? ( השתמש בהתפלגות ממוצע המדגם לפתרון )
משתנה שיש לו רק שני ערכים: הצלחה או כישלון
k הוא משתנה בדיד, כלומר יש רק מספרים שלמים, קופצים ביחידה.
אך התפלגות נורמלית היא רציפה
לכן יש צורך לתקן כל ערך של k לטווח מספרים על ידי הוספת והפחתת 0.5
מתי נשתמש?

1 - כאשר מבקשים לחשב הסתברות לתוצאה ספציפית2 - מבקשים לחשב מעל k כולל או מתחת
המשטרה נוהגת לערוך ביקורת תקינות רכב בכבישים.
מנתוני משרד התחבורה נוסעים על הכביש בארץ 20% מכוניות שאינן תקינות.
מה הסיכוי שמתוך 150 מכוניות שנבדקות ביום אחד יותר מ-25 תימצאנה לא תקינות?
מה ההסתברות שמתוך 200 מכוניות שנבדקות ביום אחד תימצאנה בדיוק 50 לא תקינות?
מה ההסתברות שמתוך 80 מכוניות שנבדקות ביום אחד תימצאנה לכל היותר 20 מלא תקינות?
מהי בקירוב ההסתברות שהשכיחות היחסים ( אחוז ) של המוניות הלא תקינות מבדגם הכולל 250 מכוניות לא תסטה מהפרופורציה שלהן באוכלוסייה ביותר מ0.05?

כמה מכוניות יש לבדוק אם מעוניינים שבהסתברות של 0.9 לפחות, הסטייה בין השכיחות היחסית של המכוניות שאינן תקינות במדגם לבין הפרופורציה שלהן באוכלוסייה לא תעלה על 0.04?
בתיאטרון הקאמרי יש 500 מקומות ישיבה. ידוע מניסיון העבר כי 80% מבין המזמינים כרטיסים מגיעים בפועל לצפות בהצגה.
להצגה מפורסמת הזמינות 600 אנשים. מהי ההסתברות שהאולם יספיק לכל המגיעים?
אם הזמינה 550 כרטיסים, מה ההסתברות שיהיו באולם יותר מ30 מקומות פנויים?

מה הסיכוי שיגיעו פחות מ70% מהמזמינים כרטיסים אם מספר המזמינים הוא 500?